下载PDF

指数函数类

1. $e^x\geq x+1$

取等条件：$x=0$
备注：这是 $x=0$ 处的切线不等式

2. $e^x \geq \frac{1}{2}x^2 + x + 1(x\geq0)$

取等条件：$x=0$
备注：这是 $x=0$ 处对 $e^x$ 进行二阶泰勒展开得到的不等式，当 $x\leq0$ 时，不等号反向

3. $e^x \geq \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + 1$

取等条件：$x = 0$
备注：这是 $x=0$ 处对 $e^x$ 进行三阶泰勒展开得到的不等式

3. $e^x \geq ex$

取等条件：$x=1$
备注：这是 $x=1$ 处的切线不等式

4. $e^x \geq x^2 + 1(x\geq0)$

取等条件：$x = 0$
备注：这个不等式不是“最佳”的，事实上存在比 $1$ 更大的系数 $\lambda$ ，使得 $e^x\geq \lambda x^2+1(x\geq0)$，这里的 $\lambda$ 是函数 $\frac{e^x - 1}{x^2}$ 在 $x > 0$ 时的最小值，约为 $1.54414$

5. $e^x \geq \frac{e^2}{4}x^2(x\geq0)$

取等条件：$x = 2$

6. $e^x \leq \frac{1}{1-x}(x < 1)$

取等条件：$x = 0$
备注：这是最常用的向上估计 $e^x$ 的不等式，可以把 $e^x\geq x+1$ 中的 $x$ 替换成 $-x$ 得到

7. $e^x \leq \frac{2+x}{2-x}(x < 2)$

取等条件：$x = 0$

对数函数类

1. $1-\frac{1}{x} \leq \ln{x} \leq x - 1$

取等条件：$x = 1$
备注：右侧为 $x=1$ 处的切线不等式，左侧可以在右侧不等式中把 $x$ 替换为 $\frac{1}{x}$ 得到

2. $\ln{(1+x)} \geq x - \frac{x^2}{2}$

取等条件：$x = 0$
备注：这是 $x=0$ 处对 $\ln{(1+x)}$ 进行二阶泰勒展开得到的不等式

3. $\ln{x} \leq \frac{x}{e}$

取等条件：$x = e$
备注：这是 $x = 1$ 处的切线不等式

4. $\begin{cases} \ln{x} \leq \frac{2(x-1)}{x+1} & 0 < x \leq 1\\ \ln{x} \geq \frac{2(x-1)}{x+1} & x\geq 1 \end{cases}$

取等条件：$x = 1$
备注：本质是对数平均不等式：

$$ \frac{a - b}{\ln{a} -\ln{b}} < \frac{a+b}{2} $$

5. $\begin{cases} \ln{x} \geq \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}) & 0 < x \leq 1\\ \ln{x} \leq \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x}) & x\geq 1 \end{cases}$

取等条件：$x = 1$

6. $\begin{cases}\ln{x} \geq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} & 0 < x \leq 1\\ \ln{x} \leq \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} & x\geq 1 \end{cases}$

取等条件：$x = 1$
备注：本质是对数平均不等式：

$$ \frac{a - b}{\ln{a} - \ln{b}} > \sqrt{ab} $$

也可以在不等式 $5.$ 中把 $x$ 替换为 $\sqrt{x}$ 得到。这个不等式比不等式 $5.$ 更精确。

三角函数类

1. $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin{x} \leq x(x \geq 0)$

取等条件：$x = 0$
备注：左侧是 $x=0$ 处对 $\sin{x}$ 进行二阶泰勒展开得到的，右侧是 $x=0$ 处的切线不等式 。当 $x\leq0$ 时，不等号反向

2. $1 - \frac{x^2}{2} \leq \cos{x} \leq 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{24}x^4$

取等条件：$x = 0$
备注：左侧是 $x = 0$ 处对 $\cos{x}$ 进行二阶泰勒展开得到的，右侧是 $x=0$ 处对 $\cos{x}$ 进行四阶泰勒展开得到的

3. $\tan{x} \geq x(0\leq x < \frac{\pi}{2})$

取等条件：$x = 0$
备注：这是 $x = 0$ 处的切线不等式

4. $\tan x \geq x + \frac{x^3}{3}(0\leq x < \frac{\pi}{2})$

取等条件：$x = 0$
备注：这是在 $x = 0$ 处对 $\tan x$ 进行三阶泰勒展开得到的，显然比不等式 $3.$ 更紧

5. $\tan x \leq \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(0\leq x < 1)$

取等条件：$x = 0$
备注：这等价于不等式 $1.$ 的右边