题目如下：
问题
已知集合 $A = [t,t+1] \cup [t+4,t+9]$，满足 $0\notin A$ . 若存在正数 $\lambda$，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{\lambda}{a}\in A$，则实数 $t=\underline{\qquad\quad}$ .
考虑函数 $f(a) = \frac{\lambda}{a}$，其定义域为 $A$，设其值域为 $B$，题意即 $B\subseteq A$ 。由于 $0\notin A$ 且 $\lambda > 0$，故函数 $f(a)$ 在区间 $[t,t+1]$ 和 $[t+4,t+9]$ 上都是单调递减的，从而值域 $B = [\frac{\lambda}{t+1},\frac{\lambda}{t}] \cup [\frac{\lambda}{t+9},\frac{\lambda}{t+4}]$ 。有四种情形：
- $[\frac{\lambda}{t+1},\frac{\lambda}{t}] \subseteq [t,t+1]$ 且 $[\frac{\lambda}{t+9},\frac{\lambda}{t+4}]\subseteq[t+4,t+9]$
- $[\frac{\lambda}{t+1},\frac{\lambda}{t}] \subseteq [t+4,t+9]$ 且 $[\frac{\lambda}{t+9},\frac{\lambda}{t+4}]\subseteq[t,t+1]$
- $[\frac{\lambda}{t+1},\frac{\lambda}{t}] \cup [\frac{\lambda}{t+9},\frac{\lambda}{t+4}] \subseteq [t,t+1]$
- $[\frac{\lambda}{t+1},\frac{\lambda}{t}] \cup [\frac{\lambda}{t+9},\frac{\lambda}{t+4}] \subseteq [t+4,t+9]$
即
- $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+1} \geq t\\ \frac{\lambda}{t} \leq t+1 \end{cases}$ 且 $\begin{cases} \frac{\lambda}{t+9}\geq t+4\\ \frac{\lambda}{t+4} \leq t+9 \end{cases}$
- $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+1}\geq t+4\\ \frac{\lambda}{t}\leq t+9 \end{cases}$ 且 $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+9} \geq t\\ \frac{\lambda}{t+4}\geq t+1\end{cases}$
- $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+1} \geq t\\ \frac{\lambda}{t} \leq t+1 \end{cases}$ 且 $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+9} \geq t\\ \frac{\lambda}{t+4}\geq t+1\end{cases}$
- $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+1}\geq t+4\\ \frac{\lambda}{t}\leq t+9 \end{cases}$ 且 $\begin{cases} \frac{\lambda}{t+9}\geq t+4\\ \frac{\lambda}{t+4} \leq t+9 \end{cases}$
第一种情形等价于 $\lambda = t(t+1) = (t+4)(t+9)$，解得 $t = -3$；
第二种情形等价于 $\lambda = (t+1)(t+4) = t(t+9)$，解得 $t = 1$ ；
第三、四种情形均无解。
综上，$t = -3$ 或 $1$ 。
本题还有一种方法：注意到 $a = f(f(a))$，所以 $a\in B$，即 $A\subseteq B$；又因为 $B\subseteq A$，故 $A = B$，有两种情形：
- $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+1} = t\\ \frac{\lambda}{t} = t+1 \end{cases}$ 且 $\begin{cases} \frac{\lambda}{t+9} = t+4\\ \frac{\lambda}{t+4} = t+9 \end{cases}$
- $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+1} = t+4\\ \frac{\lambda}{t} = t+9 \end{cases}$ 且 $\begin{cases}\frac{\lambda}{t+9} = t\\ \frac{\lambda}{t+4} = t+1\end{cases}$
解得 $t = -3$ 或 $1$ 。这种方法揭示了本题的本质：函数 $f(a) = \frac{\lambda}{a}$ 满足 $f(f(a)) = a$，即 $f(a)$ 的反函数是它本身，其定义域是值域的子集（$A \subseteq B$），再结合题目要求的 $B\subseteq A$，就能推出 $A = B$，从而求解出 $t$ 的具体值。如果改成其它函数，例如
问题
已知集合 $A = [t,t+1] \cup [t+4,t+9]$，满足 $0\notin A$ . 若存在正数 $\lambda$，使得对任意 $a \in A$ ，都有 $\frac{\lambda}{a^3}\in A$，则实数 $t=\underline{\qquad\quad}$ .
这里函数 $f(a) = \frac{\lambda}{a^3}$ 虽然在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都是单调递减的，但它不满足 $f(f(a)) = a$，也就不能解出 $t$ 的具体值（应该能解出 $t$ 的取值范围，不过我没有试过）