下面的题目来自2017年江苏省盐城市一模的填空压轴：
问题
在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $a^2 + b^2 + 2c^2 = 8$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\underline{\qquad\quad}$ .
这道题目非常经典，这么多年来，很多考试都出过与本题类似的题目。
做法如下：首先用余弦定理把 $c^2$ 替换：
然后用基本不等式，把 $a^2 + b^2$ 转换成 $ab$ ：
$$ \begin{align*} 6ab - 4ab\cos C &\leq 8\\ ab &\leq \frac{8}{6-4\cos C} \end{align*} $$三角形的面积用公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 计算：
$$ \begin{align*} S &= \frac{1}{2}ab\sin C\\ &\leq \frac{4\sin C}{6-4\cos C} \end{align*} $$下面考虑求解函数 $f(x) = \frac{4\sin x}{6 - 4\cos x}(0 < x < \pi)$ 的最大值。可以用导数，也可以使用辅助角公式：
$$ \begin{align*} S &\leq \frac{4\sin C}{6 - 4\cos C}\\ 6S &\leq 4\sin C + 4S\cos C\\ 6S &= 4\sqrt{S^2+1}\sin(C + \varphi)\\ 6S &\leq 4\sqrt{S^2+1} \end{align*} $$解得 $S \leq \frac{2\sqrt{5}}{5}$ ，从而 $S$ 的最大值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，当且仅当 $\tan C = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ 且 $a = b$ 时取到最值。
本题的背景是三角形中的 外森比克不等式($\text{Weitzenboeck Inequality}$) ：
信息
$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\cdot S$
其中的 $a,b,c$ 是三角形的三条边，$S$ 是三角形的面积。等号成立当且仅当 $a = b = c$ ，即等边三角形。
例如，如果有题目如下：
问题
在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，若 $a^2 + b^2 + c^2 = 8$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\underline{\qquad\quad}$ .
根据外森比克不等式，有 $S \leq \frac{1}{4\sqrt{3}}\cdot 8 = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，所以最大值为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
但是，如果 $a,b,c$ 系数一般化，像开篇给出的题目一样，最简单的外森比克不等式就不适用了，这时就需要用到外森比克不等式的推广，称为 奥本海姆不等式($\text{Oppenheim Inequality}$)：
信息
$xa^2 + yb^2 + zc^2 \geq 4\sqrt{xy + yz + zx}\cdot S$
其中，$a,b,c$ 是三角形的三边，$x,y,z$ 是任意正实数，$S$ 是三角形的面积。等号成立的条件在此不给出。
例如，对于开篇的题目，只需要令 $x = 1, y = 1, z = 2$，就有
由此得到 $S \leq \frac{2\sqrt{5}}{5}$ .
下面我们对奥本海姆不等式给出证明。证明的思路与之前一模一样：首先用余弦定理把 $c^2$ 替换：
$$ \begin{align*} xa^2 + yb^2 + zc^2 &= xa^2 + yb^2 + z(a^2 + b^2 - 2ab\cos C)\\ &= (x+z)a^2 + (y+z)b^2 - 2abz\cos C \end{align*} $$然后用基本不等式 $(x+z)a^2 + (y+z)b^2 \geq 2\sqrt{(x+z)(y+z)}ab$，就有：
$$ \begin{align*} xa^2 + yb^2 + zc^2 &\geq \Big(2\sqrt{(x+z)(y+z)}-2z\cos C\Big)ab\\ ab &\leq \frac{xa^2 + yb^2 +zc^2}{2\sqrt{(x+z)(y+z)}-2z\cos C} \end{align*} $$三角形的面积用公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ 计算：
$$ \begin{align*} S &= \frac{1}{2}ab\sin C\\ &\leq \frac{(xa^2 + yb^2 + zc^2)\sin C}{4\sqrt{(x+z)(y+z)}-4z\cos C}\\ \end{align*} $$然后利用辅助角公式：
$$ \begin{align*} S\cdot(4\sqrt{(x+z)(y+z)}-4z\cos C)&\leq (xa^2 + yb^2 + zc^2)\sin C\\ 4\sqrt{(x+z)(y+z)}\cdot S &\leq (xa^2 + yb^2 + zc^2)\sin C + 4zS\cos C\\ 4\sqrt{(x+z)(y+z)}\cdot S &\leq \sqrt{(xa^2 + yb^2 +zc^2)^2 + 16z^2S^2}\sin(C+\varphi)\\ 4\sqrt{(x+z)(y+z)}\cdot S &\leq \sqrt{(xa^2 + yb^2 +zc^2)^2 + 16z^2S^2}\\ 4\sqrt{xy+yz+zx}\cdot S &\leq xa^2 + yb^2 +zc^2 \end{align*} $$证毕！读者可以根据上面的过程，自行推断出等号成立的条件。