指数函数、对数函数、三角函数都是超越函数。超越函数比多项式函数难处理得多，尤其是多种超越函数混杂的情形，例如 $f(x) = \sin x - \ln (x+1)$ 。本文介绍的技术，能帮助你尽量避免研究超越函数的性质。
1. 对数单身狗
函数 $\ln x$ 的导数是 $\frac{1}{x}$，这意味着如果一个函数中有 $\ln x$，求导一次之后就消失了。因此如果 $\ln x$ 的前面乘上了其他函数，我们可以考虑把 $\ln x$ 单独提出来。例如：
问题
已知函数 $f(x) = (x+1)\ln x - 2(x-1)$，证明当 $x > 1$ 时，$f(x) > 0$ .
如果直接对 $f(x)$ 求导，得 $f'(x) = \ln x + \frac{1}{x} - 1$，一阶导函数仍然有超越函数 $\ln x$，性质不明显，需要继续求二阶导。要是函数复杂的话，可能需要求很多次导才能让 $\ln x$ 消失。这时候可以使用“对数单身狗”，把 $f(x) > 0$ 转化为
$$ \ln x - \frac{2(x-1)}{x+1} > 0 $$构造函数 $g(x) = \ln x - \frac{2(x-1)}{x+1}$ ，求导得 $g'(x) = \frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2} > 0$，可以看到在一阶导的时候就没有 $\ln x$ 了。
2. 指数找朋友
函数 $e^x$ 的任意阶导数都是本身，所以如果 $e^x$ 单独出现，它永远都不会消失。但是，$e^x$ 有这样一个性质：
$$ \big(e^xf(x)\big)' = e^x\big(f(x) + f'(x)\big) $$ $$ \Big(\frac{f(x)}{e^x}\Big)' = \frac{f'(x) - f(x)}{e^x} $$可以看到，如果把 $e^x$ 和其它函数乘除，那么求导之后的式子虽然还有 $e^x$ ，但我们实际上已经不需要考虑它了，因为我们只关心导函数的正负情况，而 $e^x$ 是恒正的。
问题
证明：$e^x \geq \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x +1$
我们先来看看这道题常规方法怎么做。令 $f(x) = e^x - \frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1$，求导
$$ f'(x) = e^x - \frac{1}{2}x^2 - x - 1 $$继续求导
$$ f''(x) = e^x - x - 1 $$继续求导
$$ f'''(x) = e^x - 1 $$直到三阶导的时候我们才能看出函数的性质。如果本题用“指数找朋友”，则简单得多：令
$$ g(x) = \frac{\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+1}{e^x} $$求导
$$ g'(x) = -\frac{x^3}{6e^x} $$一阶导的时候性质就明显了，省去了很多麻烦。
下面这道题目，是“指数找朋友”的经典案例：
问题
(2021年八省联考节选)已知函数 $f(x) = e^x - \sin x - \cos x$，证明：当 $x > -\frac{5\pi}{4}$ 时，$f(x)\geq0$ .
如果直接对 $f(x)$ 求导，不管求多少次导数，指数和三角都挥之不去。但如果把待证不等式转化为
$$ \frac{\sin x + \cos x}{e^x} \leq 1 $$对左边函数求导，得
$$ \frac{-2\sin x}{e^x} $$性质立马明晰。
3. 其它技巧
利用 $x$ 的导数是常数，也能衍生出一种技巧。例如，要证明
$$ \sin x\tan x \geq x^2\quad 0\leq x<\frac{\pi}{2} $$如果直接构造函数 $f(x) = \sin x\tan x - x^2$，那么到二阶导的时候就会很复杂。因此我们构造函数
$$ g(x) = \sqrt{\sin x\tan x} - x = \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}-x $$求导得
$$ g'(x) = \frac{(\sqrt{\cos x}-1)[(\sqrt{\cos x})^3-(\sqrt{\cos x})^2-\sqrt{\cos x}-1]}{2\cos^{\frac{3}{2}}x} $$性质就明显了。