T1
新月
2025年天域全国名校联考
(多选)已知函数 $f(x) = ax^3 - 3x^2 - 1$，则下列命题正确的是 $(\qquad\quad)$ .
$A.$ $-1$ 是 $f(x)$ 的极大值
$B.$ 当 $-1 < a < 0$ 时，$f(a-1) > f(a)$
$C.$ 当 $a > 2$ 时，$f(x)$ 有且仅有一个零点 $x_0$，且 $x_0 < 2$
$D.$ 若 $f(x)$ 存在极小值点 $x_1$，且 $f(x_1)$ $=$ $f(x_2)$，$x_1$ $\neq$ $x_2$，则 $x_1$ $+$ $2x_2$ $=$ $0$
T2
新月
2024年新高考一卷
(多选)设函数 $f(x) = (x-1)^2(x-4)$ ，则 $(\qquad\quad)$ .
$A.$ $x = 3$ 是 $f(x)$ 的极小值点
$B.$ 当 $0 < x < 1$ 时，$f(x)$ $<$ $f(x^2)$
$C.$ 当 $1 < x < 2$ 时，$-4$ $<$ $f(2x-1)$ $<$ $0$
$D.$ 当 $-1 < x < 0$ 时，$f(2-x)$ $>$ $f(x)$
T3
新月
2025年江苏省苏北七市
设函数 $f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)$，其中 $a$ $<$ $b$ $<$ $c$，若 $f(1+x)f(2-x)$ $\leq0$，则 $a$ $+$ $b$ $+$ $c$ $=$ $\underline{\qquad\quad}$ .
T4
上弦月
2024年江西省五市九校协作体第一次联考
已知正方形 $ABCD$ 的中心在坐标原点，四个顶点都在函数 $f(x)$ $=$ $x^3$ $+$ $bx$ 的图像上，若正方形 $ABCD$ 唯一确定，则实数 $b$ 的值为 $\underline{\qquad\quad}$ .
附：
2023合肥二模
设 $A,B,C,D$ 是曲线 $y$ $=$ $x^3$ $-$ $mx$ 上的四个动点，若以这四个动点为顶点的正方形有且仅有一个，则实数 $m$ 的值为 $(\qquad\quad)$ .
$A.$ $4$
$B.$ $2\sqrt{3}$
$C.$ $3$
$D.$ $2\sqrt{2}$
T5
上弦月
2024年广东省深圳市一调
已知函数 $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$，$a > 0$，设曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在点 $(x_i,f(x_i))$ 处的斜率为 $k_i$ ($i = 1,2,3$) ，若 $x_1$ $<$ $x_2$ $<$ $x_3$，且 $k_2$ $=$ $-2$，则 $k_1$ $+$ $4k_3$ 的最小值为 $\underline{\qquad\quad}$ .
T6
上弦月
2024年成都七诊
设函数 $f(x) = x^3 - x$，正实数 $a,b$ 满足 $f(a)$ $+$ $f(b)$ $=$ $-2b$，若 $a^2$ $+$ $\lambda$ $b^2$ $\leq1$，则实数 $\lambda$ 的最大值为 $(\qquad\quad)$ .
$A. 2 + 2\sqrt{2}$
$B.4$
$C. 2 + \sqrt{2}$
$D. 2\sqrt{2}$
T7
上弦月
2025年"三重教育"3月联考
已知 $x = x_1$ 和 $x = x_2$ 分别是函数 $f(x)$ $=$ $(x+1)(x^2+ax+1)$ 的极大值点和极小值点，若 $f(x)$ 在区间 $(-2,-1)$ 单调，则 $\frac{x_1}{x_2}$ 的取值范围是 $\underline{\qquad}$ .
T8
上弦月
2025年浙江金华十校二模
函数 $f(x) = x^3 +ax + b$ ($a,b\in\textbf{R}$) 在点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2))$ 处的切线分别记为 $l_1,l_2$ ，且 $l_1$ $\parallel$ $l_2$ ，过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线与 $l_2$ 交于点 $C$，则 $\frac{|AC|}{|x_1-x_2|^3}$ $=$ $\underline{\qquad}$ .
T9
上弦月
设 $f(x) = ax^3 + bx + c$ $(a\neq0,c > 0)$ ，若满足 $f(x)\geq0$ 在 $[-c,c]$ 上恒成立的 $a$ 唯一，则 $b$ $=$ $\underline{\qquad}$