你绝对无法全做对的九道易错题
已知集合 $A = \{x|-1\leq x\leq 2\}$，$B = \{x|a \leq x \leq 2a+4\}$，若 $B\subsetneqq A$，则实数 $a$ 的取值范围是 $(\qquad\quad)$.
  • $A.$ $(-\infty,-4) \cup (-1, 1]$
  • $B.$ $[-1,1]$
  • $C.$ $(-1,1]$
  • $D.$ $(-\infty, 1]$
答案：$A.$ 易错点：1.注意是真包含，因此 $a = -1$ 需要排除；2.遗漏了 $B$ 为空集的情况。
已知 $\boldsymbol{a} = (1,2)$，$\boldsymbol{b} = (x,-4)$，若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角是钝角，则实数 $x$ 的取值范围是 $(\qquad\quad)$.
  • $A.$ $(-\infty, 8)$
  • $B.$ $(-\infty, 2) \cup (2, 8)$
  • $C.$ $(-\infty, -2) \cup (-2, 8)$
  • $D.$ $(-\infty, 8]$
答案：$C.$ 易错点：两个向量反向平行的情况需要排除。
过点 $(0,1)$ 且与抛物线 $y^2 = 2x$ 有且仅有一个公共点的直线有 $(\qquad\quad)$ 条.
  • $A.$ $0$
  • $B.$ $1$
  • $C.$ $2$
  • $D.$ $3$
答案：$D.$ 易错点：遗漏了直线平行于 $x$ 轴的情况。
函数 $f(x) = \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$ 的最小正周期为 $(\qquad\quad)$.
  • $A.$ $\frac{\pi}{2}$
  • $B.$ $\pi$
  • $C.$ $2\pi$
  • $D.$ $4\pi$
答案：$B.$ 易错点：注意定义域。
已知对任意实数 $x\in[0,2]$，均有 $|2x-a|\geq x - 1$ 成立，则 $a$ 的取值范围是 $(\qquad\quad)$.
  • $A.$ $(-\infty,1]$
  • $B.$ $(-\infty, 1] \cup [5,+\infty)$
  • $C.$ $(-\infty,2] \cup [5,+\infty)$
  • $D.$ $(-\infty, 2]$
答案：$C.$ 易错点：直接作出 $|2x-a|$ 和 $x-1$ 的图像观察即可，或者去掉绝对值变成 $2x-a\geq x-1$ 或 $2x-a\leq 1-x$，这样容易犯“取等条件不一致”的错误，因为去掉绝对值变成 $2x-a\geq x-1$ 恒成立的前提条件是 $x\geq 1$ 且 $x\geq \frac{a}{2}$，此时还需要讨论 $\frac{a}{2}$ 是否落在 $[1,2]$ 内。
函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，周期为 $3$，$f(2)=0$，则 $f(x)$ 在 $[-3,3]$ 上的零点个数最少为 $(\qquad\quad)$ .
  • $A.$ $6$
  • $B.$ $7$
  • $C.$ $12$
  • $D.$ $13$
答案：$D.$ 易错点：求出对称轴，利用对称轴和对称中心来分析零点个数，不要用周期。
已知函数 $f(x) = 2\cos(\omega x + \frac{\pi}{6})$ ，$x\in[-\pi, 0]$，若 $f(x)$ 恰有三个极值点，则正实数 $\omega$ 的取值范围是 $(\quad)$ .
  • $A.$ $[\frac{8}{3}, \frac{11}{3})$
  • $B.$ $(\frac{8}{3}, \frac{11}{3}]$
  • $C.$ $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$
  • $D.$ $(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}]$
答案：$D.$ 易错点：根据课本的定义，极值需要大于或小于其两边的函数值，所以极值点不能是区间端点，故 $-3\pi \leq -\omega\pi + \frac{\pi}{6} < -2\pi$。
若直线 $x + 2ay - 1 = 0$ 与直线 $(3a-1)x - ay - 1 = 0$ 平行，则 $a = (\qquad\quad)$.
  • $A.$ $0$
  • $B.$ $0$ 或 $\frac{1}{6}$
  • $C.$ $1$
  • $D.$ $\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$
答案：$B.$ 易错点：遗漏了直线垂直 $x$ 轴的情况。
函数 $f(x) = (x-1)\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 的奇偶性为 $(\qquad\quad)$
  • $A.$ 奇函数
  • $B.$ 偶函数
  • $C.$ 非奇非偶函数函数
  • $D.$ 既是奇函数也是偶函数
答案：$C.$ 易错点：函数的定义域是 $[-1,1)$，不关于 $x$ 轴对称，因此非奇非偶。
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